Autor: Fernando Gil

1.- Números poligonales

Un número poligonal es aquel que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de polígono regular, empezando por el 1. Se clasifican como números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.

i) Encuentra todos los números que no son poligonales.
ii) Prueba que todo número cuadrado impar es suma de 1 y ocho números triangulares iguales.
iii) Encuentra un número triangular que sea cuadrado.
iv) Encuentra un número cuadrado que sea pentagonal.
v) Encuentra un número triangular que sea pentagonal.

2.- Descarga el patrón. A continuación, completa los ocho triángulos de Pascal. Pintando de un color los números impares y de otro color los números pares, encontraras un embaldosado del cuadrado con ocho triángulos de Sierpinski.

Si repites el mismo procedimiento, pintando los múltiplos de un número de un color y los demás de otro color, obtendrás un embaldosado del cuadrado con ocho triángulos fractales. El procedimiento se puede programar para embaldosar un cuadrado con ocho triángulos fractales en los que cada pequeño cuadrado es un punto (píxel).

3.- En el grabado «Melancolía I» del pintor Alberto Durero aparece en la esquina superior derecha un cuadrado mágico 4×4 con los 16 primeros números dispuesto de manera que los números de cada fila, cada columna y las dos diagonales suman 34.

Coloca estos números en un nuevo cuadrado mágico que tenga los números de todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales con suma 33. Se añade la condición de que algunos números se puedan repetir.

4.- Considera dos números enteros positivos n y k tales que k no es divisible por n. Toma en una circunferencia n puntos equidistantes y elige uno de estos puntos P₁, a continuación cuenta k puntos desde P₁, tomando el sentido antihorario, y une el punto obtenido P₂ con un segmento a P_1.. Repite el proceso, reiteradamente, marcando los puntos P₃, P₄, …. hasta que se construya un polígono estrellado. ¿Cuántos puntos hay entre dos vértices consecutivos del polígono estrellado? ¿Cuántos vértices tiene este polígono estrellado?

En la figura se ha tomado n=20 y k=12.

5. Considera los números de las 8 primeras filas del triángulo de Pascal

i) Construye con estos números un cuadrado mágico 6×6 de manera que la suma de 1ª y 2ª columnas coincida con la suma de 3ª y 4ª columnas, con la suma de 5ª y 6ª columnas, con la suma de 1ª y 2ª filas, con la suma de 3ª y 4ª filas y con la suma de 5ª y 6ª filas.

ii) Construye con estos números un cuadrado mágico 6×6 de forma que la suma de dos filas consecutivas y la suma de dos columnas consecutivas sea la misma.

6.- Los números tetraédricos son números figurados que representan un tetraedro.

El n-ésimo número tetraédrico Te_n es la suma de los n primeros números triangulares.

Prueba que n³ = Te_n + 4Te_n-1 + Te_n-2

7.- Tetraedro de Pascal

La construcción del tetraedro de Pascal es similar a la del triángulo de Pascal y, de la misma manera que en el caso del  binomio de Newton, nos permitirá calcular los coeficientes de la potencia de un trinomio. Para empezar, apilamos Te_n esferas iguales en n triángulos superpuestos de 1,3,….,T_n esferas para obtener un tetraedro. Seguidamente, se calculan los coeficientes recursivamente: Se pone 1 en la bola superior y en las tres bolas del 2º nivel. Después, se calcula cada número de una bola frontera como en el triángulo de Pascal, poniendo 1 en las bolas extremo, y sumando los números de las dos bolas del nivel superior que tocan una bola frontera. Finalmente, se calcula cada número de una bola interior sumando los números de las tres bolas del nivel superior que la tocan, es decir, el número de la bola (i,j) del nivel n es la suma de los números de las bolas (i-1,j-1), (i-1,j) y (i,j) del nivel n-1. En la figura aparecen los números de los 5 primeros niveles.

Los números del nivel n son los coeficientes de (x+y+z)^n-1 .

Utilizando este procedimiento calcula (x+y+z)⁷ .

8.- Triángulo de Catalan

Colocamos tres unos en las dos primeras columnas, después cada columna se forma con un 1 inicial y la suma del termino superior de la misma columna y el termino izquierdo de la columna anterior. El último término de la columna se repite. La última diagonal está formada por los números C_n de Catalan.

Su nombre hace referencia al matemático francés y belga Eugène Charles Catalan que los estudió en el siglo XIX.

Consideremos los 12 primeros números. ¿De cuantas maneras los podemos dividir en dos conjuntos de seis elementos A y B de manera que, el mayor de A sea superior al mayor de B; el segundo de A sea superior al segundo de B, el tercero de A sea superior al tercero de B, etc. Por ejemplo A={12, 10, 8, 6, 4, 2} y B={11, 9, 7, 5, 3, 1}.

1.- Los hijos de Rosana

Tengo 6 hijos. Cada hijo tiene una hermana. ¿Cuántos hijos tengo?

2.- Tíos y sobrinos

¿Cuál es el número mínimo de personas que hace falta para conseguir reunir un grupo de dos tíos y dos sobrinos?

3.- El misterio del desierto

En pleno desierto del Sahara encontramos una persona con un trozo de palillo en la mano. A su entorno no hay ninguna huella sobre la arena y es imposible que haya llegado a este punto caminando o en automóvil. ¿Qué ha pasado? . ¿Qué tiene que ver el palillo en esta historia?

4.– El enigma del globo

¿Cómo se puede petar un globo con un cuchillo sin que se escape el aire y sin que el globo haga ruido?

5.- Un animal curioso

¿Qué animal conoces que tenga los pies sobre la cabeza?

6.- El misterio del espía

Durante la Segunda Guerra Mundial los americanos envían un espía a Berlín. El espía habla perfectamente la lengua alemana. La documentación falsa es inmejorable y el uniforme de la SS es auténtico. Pero, por increíble que parezca, lo detienen al poner los pies en la ciudad de Berlín. No lo ha delatado ni su acento, ni su documentación, ni tampoco el uniforme. ¿Qué ha pasado?

7.- Una confesión inexplicable

Antonio dice: «La persona que más quiero en este mundo es, justamente, la suegra de la mujer de mi hermano». ¿Sabes quien es esta persona?

8.- El pastel y el pastel y medio

Si un pastel pesa 2 kg más que el peso de medio pastel. ¿Cuánto pesará un pastel y medio?

9.- El problema de las hermanas

Edurne y Vanesa son hermanas. Edurne tiene dos sobrinas, que no son sobrinas de Vanesa. ¿Cómo lo puedes explicar?

10.- El animal difunto

¿Qué animal da más vueltas después de haber muerto?

11.-

Coloca los números 0,1,2,3,4,5 y 6 en las casillas amarillas de manera que las filas de tres elementos sumen lo mismo. ¿Puede haber más de una solución?

12.- Tenemos una taza ligada por el asa a una cuerda que está sujeta al techo. ¿Cómo podemos cortar la cuerda sin que caiga la taza?. La taza está sujeta en el aire y no se puede coger de ninguna manera.

13.- La nota media conseguida en una clase de 20 alumnos ha sido 6. Ocho alumnos han suspendido con un 3 y el resto ha superado el 5. ¿Cuál es la nota media de los alumnos aprobados?

14.- Un Jeque árabe tenía tres hijos y les dejó al morir 17 camellos, con el mandato expreso de que habían de repartirlos sin matar ningún camello, y de la manera siguiente: El mayor recibirá la mitad; el segundo, la tercera parte, y el menor, la novena parte.
Los hijos del Jeque, al querer hacer el reparto,se dieron cuenta de que para poder cumplir la voluntad de su padre no había mas remedio que descuartizar algunos camellos. Acudieron al cadí, y éste les pidió un día para pensarlo. Pasado ese día, acudió el cadí con un camello suyo y lo unió al grupo de los 17 camellos, y propuso que se procediera a cumplir la voluntad del Jeque sobre esta herencia aumentada. Así, el mayor tomó 9 camellos; el segundo, 6, y el menor, 2. Al terminar el reparto el cadí volvió a llevarse su camello y dejó a los tres hermanos contentos.

Explica la solución dada por el cadí.

15.- En un banco hay 7 sacos de monedas de curso legal, de un mismo valor, cada una de las cuales pesa 10 gramos. Un empleado, por error, ha dejado junto a estos sacos otro saco de monedas falsas pero idénticas en todo menos en el peso, ya que pesan un gramo menos que las auténticas. ¿Cómo se podrá averiguar cuál es el saco de las monedas falsas haciendo una sola pesada?.

16.- El borde de un estanque tiene forma de circunferencia. Un pez llamado Martín comienza su camino en un punto del borde y nada 600m en dirección norte, lo que le lleva a volver al borde del estanque. Entonces nada en dirección este y llega al borde después de recorrer 800m. ¿Cuánto mide el diámetro del estanque?

17.- Un rey que se acerca a su final de su vida se dirige a sus herederos:»Legaré mi fortuna a aquel de vosotros que reúna un número de monedas de un euro igual a la mitad del número de días que me quedan de vida».
¿Si te encontrases en el lugar de los herederos que harías para cobrar la herencia?

18.- Recorta con dos hojas de papel dos cuadrados idénticos, después, corta con unas tijeras los segmentos que unen los centros de los cuadrados con los pies de las perpendiculares a la base.

Superpón los dos cuadrados y con celo pega los lados de los segmentos verticales que tienen el mismo signo (deberás doblar suavemente hacia dentro la parte negativa del cuadrado superior para poder pegarla con la parte negativa del cuadrado inferior). Se obtiene una superficie desarrollable con un punto singular aislado como la que se muestra en la fotografía.

La superficie consta de dos medios conos, uno girado con respecto al otro 90º.