1.- Números poligonales
Un número poligonal es aquel que puede ser representado como puntos dispuestos en forma de polígono regular, empezando por el 1. Se clasifican como números triangulares, cuadrados, pentagonales, etc.
i) Encuentra todos los números que no son poligonales.
ii) Prueba que todo número cuadrado impar es suma de 1 y ocho números triangulares iguales.
iii) Encuentra un número triangular que sea cuadrado.
iv) Encuentra un número cuadrado que sea pentagonal.
v) Encuentra un número triangular que sea pentagonal.
2.- Descarga el patrón. A continuación, completa los ocho triángulos de Pascal. Pintando de un color los números impares y de otro color los números pares, encontraras un embaldosado del cuadrado con ocho triángulos de Sierpinski.
Si repites el mismo procedimiento, pintando los múltiplos de un número de un color y los demás de otro color, obtendrás un embaldosado del cuadrado con ocho triángulos fractales. El procedimiento se puede programar para embaldosar un cuadrado con ocho triángulos fractales en los que cada pequeño cuadrado es un punto (píxel).
3.- En el grabado «Melancolía I» del pintor Alberto Durero aparece en la esquina superior derecha un cuadrado mágico 4×4 con los 16 primeros números dispuesto de manera que los números de cada fila, cada columna y las dos diagonales suman 34.
Coloca estos números en un nuevo cuadrado mágico que tenga los números de todas las filas, todas las columnas y las dos diagonales con suma 33. Se añade la condición de que algunos números se puedan repetir.
4.- Considera dos números enteros positivos n y k tales que k no es divisible por n. Toma en una circunferencia n puntos equidistantes y elige uno de estos puntos P1, a continuación cuenta k puntos desde P1, tomando el sentido antihorario, y une el punto obtenido P2 con un segmento a P1.. Repite el proceso, reiteradamente, marcando los puntos P3, P4, …. hasta que se construya un polígono estrellado. ¿Cuántos puntos hay entre dos vértices consecutivos del polígono estrellado? ¿Cuántos vértices tiene este polígono estrellado?
En la figura se ha tomado n=20 y k=12.
5. Considera los números de las 8 primeras filas del triángulo de Pascal
i) Construye con estos números un cuadrado mágico 6×6 de manera que la suma de 1ª y 2ª columnas coincida con la suma de 3ª y 4ª columnas, con la suma de 5ª y 6ª columnas, con la suma de 1ª y 2ª filas, con la suma de 3ª y 4ª filas y con la suma de 5ª y 6ª filas.
ii) Construye con estos números un cuadrado mágico 6×6 de forma que la suma de dos filas consecutivas y la suma de dos columnas consecutivas sea la misma.
6.- Los números tetraédricos son números figurados que representan un tetraedro.
El n-ésimo número tetraédrico Ten es la suma de los n primeros números triangulares.
Prueba que n3 = Ten + 4Ten-1 + Ten-2
7.- Tetraedro de Pascal
La construcción del tetraedro de Pascal es similar a la del triángulo de Pascal y, de la misma manera que en el caso del binomio de Newton, nos permitirá calcular los coeficientes de la potencia de un trinomio. Para empezar, apilamos Ten esferas iguales en n triángulos superpuestos de 1,3,….,Tn esferas para obtener un tetraedro. Seguidamente, se calculan los coeficientes recursivamente: Se pone 1 en la bola superior y en las tres bolas del 2º nivel. Después, se calcula cada número de una bola frontera como en el triángulo de Pascal, poniendo 1 en las bolas extremo, y sumando los números de las dos bolas del nivel superior que tocan una bola frontera. Finalmente, se calcula cada número de una bola interior sumando los números de las tres bolas del nivel superior que la tocan, es decir, el número de la bola (i,j) del nivel n es la suma de los números de las bolas (i-1,j-1), (i-1,j) y (i,j) del nivel n-1. En la figura aparecen los números de los 5 primeros niveles.
Los números del nivel n son los coeficientes de (x+y+z)n-1 .
Utilizando este procedimiento calcula (x+y+z)7 .
8.- Triángulo de Catalan
Colocamos tres unos en las dos primeras columnas, después cada columna se forma con un 1 inicial y la suma del termino superior de la misma columna y el termino izquierdo de la columna anterior. El último término de la columna se repite. La última diagonal está formada por los números Cn de Catalan.
Su nombre hace referencia al matemático francés y belga Eugène Charles Catalan que los estudió en el siglo XIX.
Consideremos los 12 primeros números. ¿De cuantas maneras los podemos dividir en dos conjuntos de seis elementos A y B de manera que, el mayor de A sea superior al mayor de B; el segundo de A sea superior al segundo de B, el tercero de A sea superior al tercero de B, etc. Por ejemplo A={12, 10, 8, 6, 4, 2} y B={11, 9, 7, 5, 3, 1}.